حدود و نامتناهی

اگر کسی یک برهان ریاضیاتی را از اصول مشخصی آغاز کند، قوانین مشخصی را پی بگیرد و به گزاره ریاضیاتی جالبی برسد، آنگاه آن گزاره را می توان یک قضیه خواند و در غیر این صورت، نه. این ایده که می توانیم قضایای بیشتر و پیچیده تری را از تنها تعداد اندکی اصل اولیه استنتاج کنیم به دوران اقلیدس باز می گردد. او بخش عمده ای از هندسه را تنها بر مبنای 5 اصل خود بنا نهاد. شاید کسی این سؤال را مطرح کند که چرا از آن زمان تا قرن بیست و یکم طول کشیده است تا ریاضیدانان این ایده را برای همه ریاضیات انجام دهند؟
شاید بتوان دلیل اصلی این موضوع را در یک کلمه خلاصه کرد: موجودی به نام « نامتناهی » (1) به هر طریق که نگاه کنیم، مفهوم نامتناهی برای ریاضیات ضروری و اجتناب ناپذیر است و بیان دقیق آن هنوز هم کار دشواری است.
در این مقاله من درباره سه گزاره بحث خواهم کرد. هر یک از این موارد در ابتدا ممکن است ساده به نظر آید اما با بررسی دقیق تر ما را با مفهوم نامتناهی مواجه می کند. این مسأله دشواری هایی را به وجود خواهد آورد که بخش عمده ای از این مقاله درباره مواجهه با آنها خواهد بود.
$ 1. ریشه دوم عدد 2 تقریباً برابر است با 41421356/1
نامتناهی در کجای چنین گزاره ساده ای ممکن است درگیر شود؟ گزاره ای که تنها بیان می کند عددی کوچک تقریباً برابر یک عدد دیگر است. پاسخ در این عبارت پنهان شده است که ما درباره ریشه دوم عدد 2 صحبت می کنیم به این معنی است که عدد 2 حتماً ریشه دومی دارد. اگر بخواهیم معنی این گزاره را به طور کامل درک کنیم باید به این سؤال پاسخ دهیم که ریشه دوم عدد 2 چه نوع موجودی است و این همان جایی است که نامتناهی خود را نشان می دهد. ریشه دوم عدد 2 اعشاری، با تعداد ارقام نامتناهی است.
توجه کنید در این گزاره که ارتباط نزدیکی با گزاره اولیه ما دارد و بیان می کند توان دوم 41421356/1 نزدیک به عدد 2 است، هیچ نشانه ای از حضور نامتناهی به چشم نمی خورد. این گزاره کاملاً متناهی است و تقریباً همان مفهوم اولیه را بیان می کند. همان طور که بعداً خواهیم دید این نکته بسیار مهمی است.
وقتی می گوییم عددی نامتناهی وجود دارد که مربع آن عدد 2 است، دقیقاً چه منظوری داریم؟ در مدرسه آموخته ایم که چگونه اعداد متناهی را درهم ضرب کنیم اما چیزی درباره اعداد نامتناهی نیاموخته ایم. این تنها یک فرض است که می توان آنها ( اعداد نامتناهی ) را با هم جمع و یا درهم ضرب کرد. اما چگونه باید این کار را انجام داد. برای آنکه ببینیم چه دشواری هایی ممکن است در این راه به وجود آید بیایید با جمع شروع کنیم. زمانی که ما دو عدد متناهی مانند 3859/2 و 1405/3 را می خواهیم جمع کنیم، آنها را زیر هم می نویسیم و از سمت راست شروع کرده و ارقام هم مرتبه را با هم جمع می کنیم. در این مثال با جمع دو رقم 9 و 5 شروع می کنیم. این حاصل جمع 14 می شود. پس ما 4 را در زیر آن ستون می نویسیم و 1 را به ستون بعدی انتقال می دهیم. در مرحله بعد ستون بعدی یعنی 5 و 0 را جمع می کنیم و 1 را به آن اضافه می کنیم. که نتیجه اش 6 می شود. این کار را تا جایی ادامه می دهیم که به نتیجه نهایی 5264/5 است برسیم.
حال فرض کنید ما دو عدد نامتناهی داریم. دیگر نمی توانیم جمع را از سمت راست شروع کنیم. چرا که عدد نامتناهی، چیزی به نام آخرین رقم ندارد. پس چطور می توانیم آنها را با هم جمع کنیم؟ شاید یک راه حل بدیهی این باشد که خوب از سمت چپ جمع زدن را آغاز کنیم. اما اگر همین کار را برای دو عدد مثال قبلی انجام دهیم می بینیم که جمع 2 و 3 می شود 5، اما در ستون بعدی حاصل جمع برابر می شود با جمع 3 و 1 که برابر است با 4، و به وضوح مشخص است که جوابی غلط و اشتباه خواهد بود.
این اشتباه اگرچه بسیار ناخوش آیند است اما اگر بر اعصاب خود مسلط باشیم و به کار ادامه دهیم می بینیم که با یک فاجعه مواجه نیستیم. ستون بعدی سمت راست را اگر جمع کنیم، با جمع 8 و 4 مواجه می شویم. می توان عدد 2 را در زیر ستون سوم ارقام نوشت و با تغییر حاصل ستون قبلی از 4 به 5 اشتباه قبلی را اصلاح کرد. با ادامه این روند در انتها باید حاصل ستون چهارم ارقام را که 5 می شد را بعد از جمع زدن آخرین ستون، به 6 تغییر دهیم تا به جواب درست برسیم.
توجه داشته باشید که این روش جمع کردن ممکن است بسیار وقت گیر باشد و اصلاح آنها به کاری زمان بر و دشوار تبدیل شود. برای مثال اگر بخواهیم دو عدد 3555555555555555573/1 را با 5444444444444444452/2 جمع کنیم و از سیستم جمع از چپ استفاده کنیم، آنگاه در مرحله ای به عدد 89999999999999999/3 می رسیم اما زمانی که می خواهیم گام بعدی را برداریم و 7 و 5 را با هم جمع کنیم باید همه 9های قبلی را اصلاح کنیم و مثل یک دومینو که همه مهره های آن به ترتیب حرکت می کنند دچار دردسر می شویم. همین طور که به عقب برمی گردیم، 9 ها همه به 0 تبدیل می شوند. اما به هر حال این روش کار می کند و پاسخ ما را می دهد که عدد 9000000000000000025/3 است و بدین ترتیب ما را قادر می کند تا ایده ای از جمع کردن 2 عدد نامتناهی به دست آوریم. به راحتی دیده می شود که هیچ رقمی را لازم نیست بیش از یک بار اصلاح کنیم. برای همین اگر دو عدد نامتناهی را جمع کنیم، 53 امین رقم حاصل جمع آنها همان عددی است که زیر ستون 53 ام نوشته می شود و یا تصحیحی که بعد از جمع کردن ستون های بعدی باید درباره آن انجام دهیم.
اما ما می خواهیم به درکی درست و اطمینان بخش از وجود عددی نامتناهی برسیم که مجذور آن برابر عدد 2 است. برای این کار باید پیش از هر چیز ببینیم چگونه این عدد نامتناهی تولید می شود و بعد ببینیم ضرب آن در خود چه معنی می دهد. همان طور که می توانید حدس بزنید ضرب اعداد نامتناهی بسیار پیچیده تر از جمع آنها است.
راهی طبیعی برای بدست آوردن این عدد وجود دارد. عدد مورد نظر ما باید بین 1 و 2 باشد چرا که توان دوم عدد 1 برابر با 1 و توان دوم عدد 2 برابر با 4 است که از عدد 2 مورد نظر ما بزرگتر است. حال می توان به بررسی 12/1، 22/1، 32/1 تا 92/1 پرداخت. بدین ترتیب متوجه می شویم عدد مورد نظر ما باید بین 4/1 و 5/1 باشد چرا که 96/1=42/1 و 25/2=52/1 که اولی از 2 کوچکتر و دومی بزرگتر است. حال می توان ارقام بعد از 4/1 را بررسی کرد. فرض کنید که این روش را تا 8 رقم اول اعشار ادامه داده اید و به 4142135/1 رسیده اید. با ادامه دادن همین راه می توانید رقم بعدی اعشار را که 6 است را نیز بیابید.

با تکرار این روند شما می توانید تا هر چند رقم اعشار که بخواهید این دنباله را تکمیل کنید. با وجود این که هیچ گاه این راه به پایان نمی رسد اما شما حداقل روشی واضح و آشکار برای تعیین n امین رقم بعد از اعشار را دارید. فارغ از اینکه n چه عددی باشد. برای مثال 41/1 بزرگ ترین عدد اعشاری است که مربعش از 2 کوچکتر است و دارای 2 رقم اعشار است. بنابراین جذر 2 با عدد 41/1 شروع می شود.
فرض کنید که عدد اعشاری نامتناهی، که برابر با جذر 2 است را x بنامیم. اما چه چیزی ما را مطمئن می کند که 2=x2 ؟ می توانیم به روش زیر استدلال کنیم.

در بالا جدول محاسبات شرح و نشان داده شده است. به خوبی آشکار است که ما هر چقدر در تخمین خود از ، تا تعداد رقم های اعشار بیشتری پیش می رویم، حاصل ضرب این تخمین ها در خود، تعداد بیشتری رقم 9 را پس از ممیز به دست می دهد. بنابراین اگر ما این روند را به شکل نامتناهی ادامه دهیم باید به تعدادی نامتناهی 9 بعد از ممیز، در حاصل ضرب این تخمین در خودش برسیم یعنی 99999000/1 ( تعداد نامتناهی 9 پس از ممیز ) که این مقدار برابر با 2 خواهد بود.
این استدلال ما را در برابر 2 مشکل قرار می دهد. نخست آنکه چرا باید یک ممیز نامتناهی 9 پس از آن برابر 2 باشد؟ ( 2 =999000/1 ) مورد دوم که جدی تر هم هست به این نکته بر می گردد که عبارت ادامه روند تخمین به شکل نامتناهی به چه معنی است؟ این همان نکته ای است که در نخستین گام قصد فهمیدن آن را داشتیم.
برای حل نخستین اعتراض باید غرایز افلاطونی خودمان را بار دیگر کنار گذاریم. این مسأله که عبارت 999000/1 برابر 2 است در ریاضیات پذیرفته شده است اما صحت آن توسط روشی که شامل ارائه استدلال های متافیزیکی باشد کشف نشده است. بلکه این یک قرارداد پذیرفته شده است. با وجود این نمی توان آن را یک قرارداد دلبخواه و فرضی نامید. چرا که عدم پذیرش آن ما را مجبور خواهد کرد تا پای اشیاء و موجودات عجیب و غریب تازه ای را به ریاضیات باز کنیم و یا برخی از اصول و قوانین آشنای ریاضیات را به کناری بگذاریم. مثلاً اگر شما این عدد 999000/1 با 2 برابر فرض نکنید. آنگاه باید به این سوال پاسخ دهید که 999000/1-2 چه عددی خواهد بود. اگر حاصل این تفریق برابر صفر باشد آنگاه شما این قانون پذیرفته شده در حساب را کنار گذاشته اید که می گوید اگر 0=x-y اگر بگویید حاصل این عبارت صفر نیست آنگاه با توجه به اینکه نمی توان هیچ توسیع بیشتری برای عدد 999000/1 انجام داد و در عین حال در اثر انجام این تفریق شما باید با چیزی بین 2 و این عدد 999000/1 مواجه شوید، که آشکارا شما را وادار به ساخت اشیاء و موجودات جدید ریاضیاتی می کند. موجودی شبیه به عدد هیچ ممیز نامتناهی هیچ و 1 در پایان این رشته. اگر این کار را انجام دهید تازه مشکلاتتان آغاز می شود حاصل ضرب این عدد مرموز ساخته شده در خودش چه خواهد بود؟ نامتناهی هیچ و سپس نامتناهی هیچ دیگر و در نهایت 1؟ اگر این عدد را در 10 ضرب کنید چه خواهد شد؟ احتمالاً چیزی مانند ممیز و بعد « نامتناهی منهای 1 » هیچ و سپس 1؟ نمایش اعشاری عدد را در نظر بگیرید. حال آن را در 3 ضرب کنید نتیجه چه خواهد بود؟ 999000/0 یا 1؟ اگر شما از همان قراردادی که گفتیم استفاده کنید هیچ یک از این سؤالات مطرح نمی شوند. ( البته شاید ارائه توصیفی از این سبک موجودات عجیبی که صحبتشان را کردیم غیرممکن هم نباشد. در دهه 1960 ریاضیدانی به نام آبراهام رابینسون توصیفی منسجم و منطقی از اعدادی که او آنها را بی نهایت خرد یا infinitesimal می نامید ارائه داد. اما روش آنالیز غیر استاندارد او هیچ گاه وارد جریان اصلی ریاضیات نشد ).
مشکل دومی که در این بحث به آن اشاره کردیم بسیار واقعی تر و جدی تر است اما می توان آن را پشت سر گذاشت. به جای آنکه سعی کنیم تا ببینیم یک مولد ضربی برای اعداد نامتناهی اعشاری چگونه عمل می کند، می توان عبارت را به سادگی این گونه تفسیر کرد که آن تعداد از اعشار عدد x، که مربع آن نزدیکترین عدد به 2 ( با همان تعداد اعشار ) باشد. برای دقت بیشتر فرض کنید شما عددی را می خواهید که وقتی به توان 2 رسید حاصل آن با عبارت 9999000/1 شروع شود. من حدس می زنم این عدد 41421/1 باشد که بر مبنای چند اعشار اولیه x است. از آنجایی که 41421/1 بسیار به عدد 41422/1 نزدیک است می توانم انتظار داشته باشم که مربع این هر دو عدد نیز بسیار به هم نزدیکند. ( می توان این نکته را به راحتی اثبات کرد ) اما به دلیل نوع انتخاب x، از 2 کوچکتر و از 2 بزرگتر است. بدین ترتیب من عدد مورد نظر شما را یافته ام. چرا که اگر 41421/1 را به توان دو برسانیم حاصل آن عبارت است از 9999899241/1 حال اگر شما از من بخواهید که عددی را بیابم که حاصل مربع آن با
1/9999999999999999999999999999999999999999 …
آغاز شود باز هم روش کار من تغییر نمی کند؛ تنها باید تعداد اعشارهایی که از عدد x انتخاب می کنم افزایش پیدا کند ( در واقع اگر شما بخواهید پاسختان با n تا 9 آغاز شود در این صورت انتخاب n+1 رقم بعد از اعشار همیشه کافی است ). واقعیت این است که من می توانم این کار را به ازای هر تعداد 9 بعد از اعشاری که شما بخواهید انجام دهم و تکرار کنم و این به این معنی خواهد بود که بگویم زمانی که عدد نامتناهی و اعشاری x را در خود ضرب کنید، حاصل برابر 2 خواهد بود.
توجه داشته باشید که آنچه که ما در بالا شرح دادیم یک راه غیر رسمی برای رام کردن مفهوم نامتناهی بود. ما این کار را با جایگزینی مفهوم گزاره ها انجام دادیم. اگر بخواهیم گزاره ای شسته و رفته را برای این مفهوم نامتناهی به کار ببریم باید بگوییم x یک عدد اعشاری نامتناهی است که مربع آن برابر با عدد 2 است. این جمله را می توان این گونه بیان کرد که قانونی وجود دارد که به ازای هر n می توان به طور شفاف n امین رقم عدد x را تعیین کرد. این موضوع به ما اجازه می دهد تا عدد اعشاری را با تعداد اعشار دلخواه به گونه ای تعیین کنیم که مربع آن تا حد امکان و تا جایی که بخواهیم به 2 نزدیک باشد.
آیا منظور من از همه ی این حرف ها این است که معنی عبارت ساده بسیار پیچیده است؟ از یک دید جواب این سؤال مثبت است. چرا که این گزاره واقعاً مفهوم پیچیده ای را در خود پنهان کرده است. اما از زاویه دیگری اگر به این پرسش بنگریم باید بگویم نه. من چنین قصدی ندارم. بدون در نظر گرفتن و اشاره به مسأله نامتناهی بودن، تعریف و انجام عمل جمع و ضرب اعداد اعشاری نامتناهی عملاً بسیار دشوار است و باید آن را از نظر تطبیق با قوانینی که در فصل دو درباره جمع و ضرب بیان کردیم تطبیق داد و مطمئن شد قوانینی مانند جابه جایی و شرکت پذیری آیا برای آن صادق است یا نه. اما به محض اینکه یک بار این مسأله حل شد دست ما باز می شود تا بتوانیم بار دیگر راجع به این مسأله به شکل مجرد فکر کنیم. تنها چیزی که درباره x اهمیت دارد این است که مربع آن می شود 2. تنها چیزی که درباره کلمه مربع x اهمیت دارد این است که این عمل بر مبنای تعریفی از ضرب است که موافق قواینن تعریف شده برای آن است. واقعاً این مسأله که مثلاً رقم یک تریلیونیوم بعد از اعشار x چیست و یا اینکه روش ضرب در این مورد تا چه حد پیچیده است اهمیت چندانی ندارد.
$ 2- هنگامی که از کنار علامت کنار جاده گذشتیم سرعتمان به 40 مایل بر ساعت رسید
فرض کنید سوار بر اتومبیلی هستید که با شتاب در حال حرکت است و عقربه سرعت سنج خودرو به طور پیوسته از عدد 30 مایل بر ساعت به سمت عدد 50 مایل بر ساعت در حال حرکت است. شاید به نظر وسوسه کننده بیاید که بگوییم تنها برای یک لحظه سرعت حرکت ما 40 مایل بر ساعت بوده است ( این لحظه همان زمانی است که عقربه سرعت سنج دقیقاً روی عدد 40 مایل بر ساعت قرار گرفته بود ). پیش از آن لحظه سرعت شما از 40 مایل بر ساعت کمتر و بعد از آن از 40 مایل بر ساعت بیشتر بود. اما این جمله که سرعت ماشین فقط برای یک آن 40 مایل بر ساعت بوده است چه معنی می دهد؟ اگر ماشین شتاب نداشت می توانستیم حساب کنیم که در یک ساعت ماشین چند مایل را پشت سر گذاشته است ( یا به روشی عملگرایانه تر می شد حساب کرد که ماشین در 30 ثانیه چه مسافتی را طی کرده و حاصل را ضرب در 120 نمود ). اما این روش در مورد ماشین در حال شتاب گرفتن کاربردی ندارد. اگر کسی مسافت طی شده در یک زمان مشخص را برای ماشین شتاب دار حساب کند تنها می تواند درباره سرعت متوسط ماشین اظهارنظر کند و نه درباره سرعت لحظه ای ماشین.
اما اگر تصمیم بگیریم تا مشخص کنیم که ماشین در یک زمان بی نهایت کوچک چه مسافتی را طی کرده است، مشکل ما نیز رنگ می بازد. چرا که در زمانی به این کوچکی فرصتی برای تغییر سرعت وجود ندارد. اگر بازه زمانی مورد نظر ما t ساعت باشد که t عددی بی نهایت کوچک است آنگاه می توانیم تعداد مایل هایی که ماشین در این بازه t حرکت کرده است اندازه بگیریم و فرض کنید حاصل آن عدد s است که خود s نیز عددی بسیار کوچک خواهد بود. از تقسیم این s بر t می توان سرعت لحظه ای ماشین را در این حرکت شتاب دار محاسبه کرد.
این مثال فرضی ما را به مسأله ای رهنمون می سازد که بسیار شبیه همان موردی است که پیش از این و زمانی که داشتیم مسأله برابری یا عدم برابری عدد 999000/1 را با 2 بررسی می کردیم با آن مواجه شدیم. آیا t برابر با صفر است؟ اگر این طور باشد پس s هم باید صفر باشد چون هیچ ماشینی نمی تواند در صفر ثانیه حرکتی انجام دهد. اما از طرف دیگر امکان ندارد بشود صفر را بر صفر تقسیم کرد و به جوابی واضح رسید. از سوی دیگر اگر t صفر نیست، پس هر چقدر هم که کوچک باشد باز هم ماشین در آن مدت در حال شتاب گرفتن بوده و جواب نهایی ما غلط از آب درمی آید.
راهی که برای درک سرعت لحظه ای وجود دارد، استفاده از این واقعیت است که اگر زمان را بسیار کوتاه در نظر بگیریم– مثلاً یک صدم ثانیه– ماشین در این زمان فرصت کافی برای اینکه در اثر شتاب سرعتش تغییر زیادی بکند را ندارد. فرض کنید قصد نداریم سرعت دقیق لحظه ای ماشین را تعیین کنیم و فقط می خواهیم تخمین خوبی از آن به دست آوریم. در این صورت اگر ابزارهای اندازه گیری ما دقیق باشند می توانیم مسافت طی شده در مدت یک صدم ثانیه را به دست آوریم و این مسافت را در تعداد یک صدم ثانیه های موجود در یک ساعت یا 360 هزار ضرب کنیم. پاسخ ما دقیق نیست اما از آنجا که ماشین در بازه زمانی یک صدم ثانیه خیلی شتاب نگرفته است پاسخ ما تقریب نزدیکی به جواب مورد نظر است.
این پاسخ شبیه همان مورد نزدیک بودن مقدار 41421352/1 با 2 است و به ما امکان می دهد تا نگرانیمان درباره مواجهه با مفهوم بی نهایت یا در این مورد بی نهایت کوچک را کاهش دهیم. حال تصور کنید به جای آنکه مسافت طی شده در یک صدم ثانیه را محاسبه کنیم به اندازه گیری این مسافت در مدت یک هزارم ثانیه بپردازیم. در این بازه زمانی میزان شتاب ماشین حتی از بازه یک صدم ثانیه قبلی هم کمتر است و به همین دلیل جواب ما دقیق تر خواهد شد. بر این اساس ما می توانیم به تعبیر دیگری از جمله « ماشین الان دارد با سرعت 40 مایل بر ساعت حرکت می کند » دست یابیم. تعبیر جدید که کمی پیچیده تر است را می توان به این شرح بیان داشت. اگر شما میزان خطای مجاز را تعیین کنید، و اگر t عددی به اندازه ی کافی کوچک باشد ( مثلاً عددی بسیار کوچکتر از 1 )، می توانم ببینم که اتوموبیل در t ساعت چند کیلومتر می پیماید، این عدد را بر t تقسیم کنم و جوابی به دست آورم که دست کم به اندازه ی حاشیه ی خطایی که برایم مشخص کرده اید به 40 کیلومتر بر ساعت نزدیک باشد. برای مثال اگر t به اندازه کافی کوچک باشد آنگاه من می توانم تضمین دهم که تخمین من بین 99/39 و 01/40 است. اگر شما بخواهید که تخمین من به اندازه 0001/0 خطا باشد آنگاه من t را کوچکتر در نظر می گیرم و تا زمانی که این زمان را به اندازه کافی کوچک فرض کنم می توانم جواب را با دقتی که مورد نظر شما است ارائه دهم.
یک بار دیگر ما از مفهوم بی نهایت یا نامتناهی استفاده کرده ایم تا مفهومی پیچیده، که شامل تقریب زدن است را به شیوه ای مطلوب بیان کنیم. عبارت دیگری که بر این مورد می تواند دلالت کند حد یا Limit است. یک اعشار نامتناهی برابر است با حد رشته ای از اعداد با تعداد اعشار متناهی و سرعت لحظه ای نیز حد تخمین هایی است که یک نفر با محاسبه پیاپی مسافت های طی شده در بازه های زمانی کوتاه و کوتاه تر به دست می آورد. ریاضیدانان در بسیاری از اوقات از آنچه در حدود یا در بی نهایت اتفاق می افتد صحبت می کنند. اما آنها در این موارد همیشه متوجه هستند که نباید این بیان را خیلی جدی گرفت و به معنی لغوی آن تأکید کرد بلکه اگر از آنها بخواهید تا دقیقاً منظور خود را شرح دهند به بیان تقریب های پیاپی مانند آنچه در این دو مثال گفته شد برخواهند گشت.
$ 3- مساحت دایره ای با شعاع r برابر است با
درک این نکته که می شود مفهوم نامتناهی یا بی نهایت را با متناهی توصیف و درک کرد پیروزی بزرگ ریاضیات در قرن نوزدهم به شمار می رود. البته ریشه های این درک ریاضیاتی به خیلی قبل از آن باز می گردد. در مثال بعدی که مورد بحث قرار می دهم از استدلالی استفاده خواهم کرد که توسط ارشمیدس در قرن سوم پیش از میلاد، بنیان نهاده شده بود. اما پیش از آنکه این محاسبات را آغاز کنیم باید دقیقاً مشخص کنیم که چه چیزی را می خواهیم حساب کنیم و این مسأله به آن راحتی هم که به نظر می آید نخواهد بود. مساحت چیست؟ البته مسلم است که مساحت چیزی شبیه اندازه ی چیزی در [ درون ] شکل ( یعنی چیزی دوبعدی ) است، اما آیا می توان این تعریف را دقیق دانست؟
مساحت هر چه که باشد، واضح است که محاسبه آن برای برخی اشکال خاص ساده است. برای مثال اگر مستطیلی با طول اضلاع a و b داشته باشیم آنگاه مساحت آن برابر است با ab. هر مثلث قائم الزاویه ای را نیز می توان نیمی از یک مستطیل به حساب آورد. بنابراین مساحت آن نیمی از مساحت مستطیل متناظرش می شود. هر مثلثی نیز قابل تبدیل به دو مثلث قائم الزاویه است و هر چند ضلعی را می توان به صورت تعدادی مثلث رسم کرد. بنابراین محاسبه مساحت چند ضلعی ها چندان هم دشوار نیست. بنابراین به جای آنکه نگران آن باشیم که مشغول محاسبه چه چیزی هستیم می توانیم به سادگی به تعریف مساحت یک چند ضلعی بر اساس نتیجه محاسباتمان بپردازیم. البته باید یک بار خیال خودمان را از این موضوع راحت کنیم که تقسیم و تکه تکه کردن یک چند ضلعی به مثلث های مختلف را اگر از روش های مختلف انجام دهیم به پاسخ های مختلف نخواهیم رسید.
مشکل ما در جایی آغاز می شود که با سطحی مواجه شویم که مرزهای آن محدود به یک منحنی است. ما نمی توانیم یک دایره را به چندین مثلث تقسیم کنیم. پس جمله مساحت یک دایره برابر است با از کجا آمده است؟
این هم یکی دیگر از مواردی است که استفاده از رویکرد مجرد بسیار کارآمد است. بیایید تمرکز خود را به جای آنکه بر این بگذرایم که مساحت چیست بر این مورد قرار دهیم که مساحت چه کار می کند. البته واضح است که مساحت کار ویژه ای انجام نمی دهد اما وجود دارد. چیزی که مورد نظر من از کار مساحت است، توجه به خواص و ویژگی های منطقی مساحت یک جسم است. در زیر 5 خاصیت آن بیان شده است.
Ar1: اگر شما یک شکل را جابه جا کنید مساحت آن تغییر نمی کند ( به عبارت رایج تر، مساحت دو شکل متجانس با هم برابر است ).
Ar2: اگر شکلی کاملاً درون شکل دیگری قرار گیرد، مساحت شکل اول از مساحت دومی بیشتر است.
Ar3: مساحت یک مستطیل با حاصل ضرب طول و عرض آن در هم به دست می آید.
Ar4: اگر شما یک شکل را به چند قطعه تقسیم کنید آنگاه مجموع مساحت قسمت های ایجاد شده برابر مساحت شکل کلی است.
Ar5: اگر شما یک شکل را از هر جهت دو برابر کنید مساحت آن 4 برابر می شود.
با نگاهی به مطالب قبلی متوجه می شوید که ما مساحت مثلث قائم الزاویه را با استفاده از اصول Ar1، Ar3 و Ar4 به دست آوردیم. ویژگی Ar2 آن قدر بدیهی به نظر می رسد که شاید تأکید و ذکر آن به نظر بی فایده باشد اما این بدیهی بودن همان چیزی است که ما از یک اصل ریاضی انتظار داریم و خواهید دید که تا چه اندازه این اصل کارآمد است. مورد Ar5 اگرچه بسیار کارآمد است اما نمی توان آن را یک اصل به شمار آورد چرا که می توان آن را از بقیه اصول استخراج کرد.
اما با استفاده از این توضیحات چگونه می توانیم درباره مساحت یک دایره اظهارنظر کنیم. پیام این فصل این است که شاید فکر کردن درباره تقریب ها مفیدتر از تلاش برای تعیین دقیق مساحت باشد. ما این کار را به روش زیر و به سادگی انجام خواهیم داد. تصور کنید شکلی را بر روی کاغذ مدرجی که با مربع های بسیار کوچک خانه شده است رسم کرده ایم. می دانیم که بر اساس Ar3 ( و با توجه به اینکه مربع نوع خاصی از مستطیل است ) مساحت این مربع ها قابل محاسبه اند. بنابراین برای تعیین مساحت شکل مورد نظر کافی است تعداد مربع هایی را که کاملاً درون شکل قرار گرفته اند را بشماریم. اگر برای مثال شکل ما حاوی 144 مربع کامل بود آنگاه مساحت آن شکل حداقل 144 برابر مساحت هر یک از مربع ها است. توجه داشته باشید که ما مساحت شکلی را که از 144 قطعه مربع ساخته شده است را می توانیم از قوانین Ar3 و Ar4 محاسبه کنیم.
این روش که برای شکل تصویر شماره 1 رسم شده است جواب دقیقی به همراه نخواهد داشت؛ چرا که در این تصویر برخی از مربع ها به طور کامل درون شکل قرار نگرفته اند و بخشی هایی از آنها درون شکل است و بخش دیگر در بیرون آن قرار دارد.
بنابراین ما نمی توانیم مساحت شکل را بر مبنای شمارش قطعات کامل انجام دهیم. با وجود این یک راه حل بهتر برای بهبود تخمین مساحت شکل وجود دارد و آن تقسیم هر یک از مربع ها به چهار مربع کوچکتر و استفاده از آنها به جای مربع های اولیه است. باز هم مثل مرحله قبلی ممکن است برخی از مربع ها به طور کامل داخل یا خارج شکل قرار نگیرد. هر چه قدر این روند را ادامه دهیم و مربع ها را به قطعات کوچکتری تقسیم کنیم مشاهده می کنیم که تعداد بیشتری از آنها به طور کامل داخل دایره قرار می گیرند. با ادامه این فرآیند متوجه می شویم که هر چقدر فرآیند کوچکتر کردن مربع ها را بیشتر ادامه دهیم و این تقریب را دقیق تر پی بگیریم، مشخص می شود که این روند به سمت یک عدد مشخص حرکت و میل می کند ( البته این موضوع ممکن است در نگاه اول چندان واضح نباشد ) این وضعیت مشابه اتفاقی است که هنگام مربع کردن تقریب های رخ می دهد و به مرور به دو نزدیکتر می شود.
بدین ترتیب و با توجه به ظرافت های ریاضیات، عبارتی مانند اینکه فلان شکل مشخص مساحتی معادل 1 متر مربع دارد را می توان به شکل زیر بیان کرد، که اگر مقدار مشخصی از خطا– هر چقدر هم که کوچک– برای ما قابل پذیرش باشد، می توان مربع هایی چنان کوچک را انتخاب کند که جمع مساحت های آنها کمتر از میزان خطای قابل قبول با یک متر مربع فاصله داشته باشد ( در ذهن داشته باشید که اگر کسی بخواهد از بی نهایت مربع بی نهایت کوچک استفاده کند در مقدار حدی خود به مساحت دقیق شکل می رسد ).
راه دیگری برای تعیین مسأله مساحت را می توان به شکل زیر بیان کرد. اگر یک شکل با مرزهای منحنی داشته باشیم که مساحتش دقیقاً 12 سانتیمتر مربع باشد در این صورت اگر بخواهیم با رسم مربع های مدرج مساحت آن را تحقیق کنم عملاً با کاری غیرممکن روبه رو هستیم اما در مقابل می توانم نشان دهم که مساحت این شکل هیچ عدد دیگری غیر از 12 نیست. مثلاً اگر فرض کنید مساحت شکل 9/11 است من می توانم با خرد کردن مربع ها نشان دهم این حرف درست نیست و برای این کار آن قدر مربع ها را کوچک می کنم که مقدار باقی مانده آن کمتر از 1/0 باشد. در حقیقت بدون استفاده از مفهوم بی نهایت من می توانم نشان دهم که مساحت هیچ عددی غیر از 12 نمی تواند باشد و تنها درباره عدد مساحت آن ( در این مورد 12 ) نمی توانم چیزی را ثابت کنم. اما وقتی هیچ عددی غیر از 12 نباشد پس 12 جواب مورد نظر ما است.
این ایده می تواند تعریفی راضی کننده از مساحت را در اختیار ما بگذارد. اما هنوز یک مشکل برای ما باقی می ماند و آن این است که چگونه می توانیم با استفاده از فرآیندهایی که در بالا به آن اشاره کرده ایم دست به تخمینی برای مساحت دایره ای با شعاع r بزنیم و نشان دهیم این تخمین ها با افزایش دقت به عدد 〖πr〗^2 نزدیک می شوند؟ اگرچه روش معمول برای پاسخ دادن به این پرسش استفاده از حساب دیفرانسیل و انتگرال است اما من قصد استفاده از این حساب را در این کتاب ندارم. اما برای محاسبه مساحت یک دایره می توان از استدلال خلاقانه ارشمیدس که قبلاً نیز اشاره کردم استفاده کرد.
تصویر 2 دایره ای را نشان می دهد که به قطعاتی شبیه مثلث تقسیم شده است و این قطعات دوباره در کنار هم قرار گرفته اند و شکل سمت راست را به وجود آورده اند. از آنجایی که این قطعات بسیار باریک هستند ارتفاع هر یک از این مثلث گونه ها را می توان برابر با r یا شعاع دایره، فرض کرد. بار دیگر با استفاده از باریک بودن و کوچک بودن قطعات ایجاد شده، می توان منحنی هایی که در قاعده این مثلث گونه ها قرار دارد را تقریباً خطی راست فرض کرد. از طرفی می دانیم مجموع اضلاع فوقانی و پایینی هر یک نیمی از محیط دایره را به خود اختصاص داده اند اما چون محیط دایره بنا بر تعریف π برابر rπ2 است پس طول هر یک از این اضلاع بالایی و پایینی برابر می شود با rπ. بنابراین با توجه به رابطه ای که برای مساحت مستطیل داشتیم که برابر با طول ضرب در عرض آن بود اینک با شبه مستطیلی مواجه هستیم که عرض آن r و طول آن rπ است. بنابراین مساحت آن که با مساحت دایره حداقل به طور تقریبی، برابر است می شود .
البته مساحت دایره واقعاً است. استدلالی که ما انجام دادیم اگرچه ممکن است قانع کننده باشد اما هنوز ناتمام است چرا که ما تقریبی را برای این مساحت به دست آوردیم و البته می بینیم هر چقدر تعداد مثلث ها را بیشتر و اندازه آنها را کوچکتر کنیم بر دقت〖πr〗^2 اضافه می شود.
به طور خیلی خلاصه یک راه برای انجام این کار آن است که دو چند ضلعی منظم را در نظر بگیریم که یکی از درون و دیگری از بیرون به دایره مماس شوند. شکل 3 این وضعیت را برای حالت 6 ضلعی نشان می دهد. محیط چند ضلعی داخلی از محیط دایره کوچکتر و محیط چندضلعی بیرونی از محیط دایره بزرگ تر است. هر یک از این چند ضلعی ها را می توان به قطاع های مثلثی شکل تقسیم کرد که با کنار هم نهادن دو برش کناری این مثلث ها متوازی الاضلاع هایی به وجود می آیند. محاسبه مستقیم نشان می دهد که مساحت متوازی الاضلاع های کوچکتر، کمتر از r برابر نصف محیط چند ضلعی کوچکتر و در نتیجه کمتر از〖πr〗^2 است. به طور مشابه، مساحت متوازی الاضلاع های بزرگتر که مساحت کل چند ضلعی بزرگتر است بزرگتر از مقدار〖πr〗^2 است. بنابراین با افزایش تعداد اضلاع چند ضلعی ها شاهد آن می شویم که اختلاف دو چند ضلعی داخلی و خارجی کاهش می یابد و بدین ترتیب مساحت آن دو به هم نزدیک می شود . یعنی مساحت چند ضلعی کوچکتر به حداکثر و چندضلعی بزرگتر به حداقل خود نزدیک می شوند و بنابراین مقدار دقیق مساحت دایره همان خواهد شد.

پي‌نوشت‌ها:

1. Infinity

منبع مقاله : گاورز، تیموتی؛ ( 1391 )، ریاضیات، پوریا ناظمی، تهران: بصيرت، چاپ دوم.